Lebesgue problem

Lebesgues problem er at finde en plan figur med det mindste område, der kan dække enhver plan figur med diameter 1.

Noter

Enhver figur med diameter 1 kan dækkes af en figur med konstant bredde 1 (hver figur med diameter 1 har sin egen figur med konstant bredde, dvs. en figur med konstant bredde afhænger af en figur med diameter 1). For tal med konstant bredde er diameteren den samme som bredden. Derfor er Lebesgues problem reduceret til at finde en flad figur af det mindste område, der kan dække en figur med konstant bredde 1.

Lebesgue-figuren er kendt for at eksistere, men det er måske ikke den eneste. Hvis dens område, så er det kendt, at $L$

0{,}826\approx {\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}<L<{\tfrac {2}{121}}\ cdot {\sqrt {28634\cdot {\sqrt {3}}-15139}}+\arccos {\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2}}-{\tfrac {\pi }{3 }}-{\tfrac {109}{121}}-{\tfrac {82}{121\cdot {\sqrt {3}}}}\approx 0{,}845.

Den nedre grænse blev bevist i [1] .

For at finde et øvre skøn er det tilstrækkeligt at forestille sig en flad figur, der er i stand til at dække en hvilken som helst flad figur med diameter 1. Sådanne tal omfatter (i faldende arealrækkefølge):

Et kvadrat med siden 1, dets areal er 1;
Regelmæssig sekskant med bredde 1, dens areal er ; ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866$
Den mindste figur, der i dag kendes med denne egenskab, er en regulær sekskant med bredde 1, som har 3 hjørner afskåret på en bestemt måde. Ligebenede trekanter skæres fra to hjørner, hvis baser rører ved en cirkel indskrevet i en sekskant; det tredje hjørne skæres langs to cirkler med radius 1, der rører siderne i en afstand svarende til siden af en sådan ligebenet trekant.

Noter

↑ Ogilvy, CS Excursions in Geometry. New York: Dover, pp. 142-144, 1990.

Litteratur

Yaglom IM , Boltyansky VG Konvekse figurer . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 s. - (Den matematiske cirkels bibliotek, nummer 4).

Lebesgue problem

Noter

Noter

Litteratur

Links