Bianchis differentielle identitet

Riemann-tensoren opfylder følgende identitet:

(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{ \;rij}^{s}=0,

som kaldes den differentielle Bianchi- identitet (eller anden Bianchi-identitet ) i differentialgeometri .

Bevis ved hjælp af et særligt koordinatsystem

Vi vælger et vilkårligt punkt på mangfoldigheden og beviser lighed (1) på dette tidspunkt. Da pointen er vilkårlig, vil gyldigheden af identitet (1) på hele manifolden følge herfra. $P$ $P$

På et tidspunkt kan vi vælge et særligt koordinatsystem, således at alle Christoffel-symboler (men ikke deres derivater) forsvinder på det tidspunkt. Så for kovariante afledte på et punkt, vi har $P$ $P$

(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}.

Fordi

(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{ s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},

så på det punkt, vi har $P$

(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}.

Ved cyklisk omarrangering af indeksene i (4) opnår vi yderligere to ligheder: $ijk$

(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s},

(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}.

Det er let at se, at når man tilføjer ligheder (4), (5) og (6) på venstre side af ligningen, vil venstre side af udtryk (1) blive opnået, og på højre side under hensyntagen til kommutativitet af partielle afledte , alle termer annullerer hinanden, og vi får nul.

Se også

Algebraisk Bianchi identitet