Differentialer af højere orden

Differentialet af orden n , hvor n > 1 , af en funktion på et tidspunkt er differentialet i det punkt af differentialet af orden (n - 1) , dvs. $z$

d^{n}z=d(d^{n-1}z)

Højere ordens differential af en funktion af en variabel

For en funktion, der afhænger af en uafhængig variabel, ser den anden og tredje differentialer sådan ud: $z=f(x)$

{\displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2))

d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^ {2}=z'''dx^{3}

Ud fra dette kan vi udlede den generelle form af n . ordens differential af funktionen , forudsat at det er en uafhængig variabel: $z=f(x)$ $x$

{\displaystyle d^{n}z=z^{(n)}dx^{n))

Ved beregning af differentialer af højere orden er det meget vigtigt, at der er en vilkårlig og uafhængig af , som, når man differentierer med respekt, bør betragtes som en konstant faktor. Hvis ikke er en uafhængig variabel, så vil differentialet være anderledes (se nedenfor ) [1] . $dx$ $x$ $x$ $x$

Højere ordens differential af en funktion af flere variabler

Hvis en funktion har kontinuerte andenordens partielle afledte, så er andenordens differentialet defineret som følger: . $z=f(x,y)$ $d^{2}z=d(dz)$

d^{2}z=d\left({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)=\venstre ({\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{x}dx+\left({\frac {\partial z }{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\right)'_{y}dy=

=\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2))}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x} }dy\right)dx+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}dx+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2 }}}dy\right)dy

d^{2}z={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2))}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\ delvis x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}dy^{2}

d^{2}z=\left({\frac {\partial }{\partial x}}dx+{\frac {\partial}{\partial y}}dy\right)^{2}z

Symbolsk er den generelle form af n . ordens differential af en funktion som følger: $z=f(x_{1},...,x_{r})$

d^{n}z=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1))}dx_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2))} dx_{2}+...+{\frac {\partial }{\partial x_{r))}dx_{r}\right)^{n}z

hvor , og vilkårlige stigninger af uafhængige variabler . Inkrementerne behandles som konstanter og forbliver de samme fra en differential til den næste. Kompleksiteten af det differentielle udtryk øges med antallet af variable. $z=f(x_{1},x_{2},...x_{r})$ ${\displaystyle dx_{1},...,dx_{r))$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{r))$
${\displaystyle dx_{1},...,dx_{r))$

Ikke-invarians af højere ordens differentialer

Når th-differensen ikke er invariant (i modsætning til den første differentials invarians ), det vil sige, at udtrykket generelt afhænger af, om variablen betragtes som en uafhængig eller som en mellemfunktion af en anden variabel, for eksempel ,. $n\geqslant 2$ $n$ $d^{n}f$ $x$ $x=\varphi (t)$

Så for en uafhængig variabel har den anden differentiale, som nævnt ovenfor, formen: $x$

{\displaystyle d^{2}z=z''(dx)^{2))

Hvis en variabel i sig selv kan afhænge af andre variabler, så . I dette tilfælde vil formlen for den anden differentiale se ud som [1] : $x$ $d(dx)=d^{2}x\neq 0$

d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=z''\,(dx)^{2}+z'd^{2}x

På samme måde vil den tredje differential have formen:

d^{3}z=z'''\,(dx)^{3}+3z''dx\,d^{2}x+z'd^{3}x

For at bevise ikke-invariansen af højere ordens differentialer er det tilstrækkeligt at give et eksempel.
For og : $n=2$ ${\displaystyle y=f(x)=x^{3))$

hvis er en uafhængig variabel, så $x$ ${\displaystyle d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^{3})''(dx)^{2}=6x(dx)^{2))$
hvis og ${\displaystyle x=\varphi (t)=t^{2))$ $dx=d\varphi (t)=\varphi '(t)dt=2tdt$
1. $6x(dx)^{2}=6t^{2}(2tdt)^{2}=\color {BrickRed}{24t^{4}(dt)^{2}}$
2. på samme tid, og $y=x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}$ $d^{2}y=(t^{6})''(dt)^{2}=\color {BrickRed}{30t^{4}(dt)^{2))$

Under hensyntagen til afhængigheden har allerede den anden differentiale ikke egenskaben invarians, når variablen ændres. Differentialer af orden 3 og højere er heller ikke invariante. $x=t^{2}$

Tilføjelser

Ved hjælp af differentialer kan en funktion , med forbehold for eksistensen af dens første afledte, repræsenteres af Taylor-formlen : $F$ $(n+1)$

for en funktion med én variabel:

{\mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0})}{2!)}}+ ..+{\frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{\frac {d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal { 4}}x)}{(n+1)!}}

, ;

(0<\theta <1)

for en funktion med flere variable:

{\mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{\frac {d^{2}F(x_{0} },y_{0})}{2!}}+...+{\frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!)}}+{\frac { d^{n+1}F(x_{0}+\theta {\mathcal {4}}x,y_{0}+\theta {\mathcal {4}}y)}{(n+1)! } }

(0<\theta <1)

Hvis den første differens er lig med nul, og den anden differens af funktionen er positiv-definit (negativ-definit), så er punktet et strengt minimum (henholdsvis et strengt maksimum) punkt; hvis den anden differentiale af funktionen er ubestemt, så er der ikke noget ekstremum på punktet . $f(x_{1},...,x_{n})$ $(x_{1},...,x_{n})$ $f(x_{1},...,x_{n})$ $(x_{1},...,x_{n})$

Noter

↑ 1 2 Baranova Elena Semenovna, Vasilyeva Natalya Viktorovna, Fedotov Valery Pavlovich. En praktisk guide til højere matematik. Typiske beregninger: Studievejledning. 2. udg. . - "Forlag" "Peter" "", 2012. - S. 196-197. - 400 sek. — ISBN 9785496000123 .

Litteratur

G. M. Fikhtengolts "Kurs for differential- og integralregning", bind 1