Diskret Hartley transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. september 2017; checks kræver 4 redigeringer .

Den diskrete Hartley-transformation (forkortet til DHT) er en slags diskret ortogonal trigonometrisk transformation. I mange tilfælde kan det tjene som en erstatning for den diskrete Fourier-transformation .

Definition

Rækkefølgen af reelle tal , , ... , transformeres til en sekvens af reelle tal , , ... , ved hjælp af den diskrete Hartley-transformation ifølge formlen: $N$ $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $N$ $H_{0}$ $H_1$ $H_{N-1}$

H_{k}={\dfrac {1}{N}}\sum \limits _{n=0}^{N-1}h_{n}\operatørnavn {cas} \left({\dfrac { 2\pi }{N}}nk\right),\ k=0,\ldots ,N-1,

hvor [1] . Den omvendte diskrete Hartley-transformation er givet ved formlen: $\operatørnavn {cas} x=\cos x+\sin x$

h_{n}=\sum \limits _{k=0}^{N-1}H_{k}\operatørnavn {cas} \left({\dfrac {2\pi }{N}}nk\ højre),\ n=0,\ldots ,N-1.

Det skal bemærkes, at i modsætning til den diskrete Fourier-transformation (forkortet DFT), giver Hartley-transformationen et antal reelle tal.

Der er følgende formler for overgangen fra DFT (sekvens , , … , ) til DFT og omvendt [2] : $F_{0}$ $F_{1}$ $F_{N-1}$

H_{k}=\operatørnavn {Re} F_{k}-\operatørnavn {Im} F_{k},

F_{k}={\dfrac {1}{2}}(H_{k}+H_{Nk})-i{\dfrac {1}{2}}(H_{k}-H_{Nk }),\ k=0,\ldots ,N-1.

Hurtig Hartley Transform

Ideen med Fast Hartley Transform (forkortet FFT) er den samme som Fast Fourier Transform (forkortet FFT): på grund af symmetri kan antallet af beregninger reduceres.

Lad to nye sekvenser af længde lig med og fås fra den oprindelige sekvens , ... , og lad deres DPT'er være lig med henholdsvis hvor . I disse notationer har den generelle BPH-formel følgende form [3] : $h_{0}$ $h_1$ $h_{N-1}$ $N$ $\left(h_{0},0,h_{2},0,\ldots \right)$ $\left(0,h_{1},0,h_{3},\ldots \right)$ ${\displaystyle H_{1,k))$ ${\displaystyle H_{2,k))$ $k=0,\ldots ,N-1$

H_{k}=H_{1,k}+H_{2,k}\cos \left({\dfrac {2\pi}{N}}k\right)+H_{2,Nk}\ sin \left({\dfrac {2\pi }{N}}k\right).

Ved at bruge DFT til DFT konverteringsformlerne ovenfor kan du bruge FHT til at beregne FFT, hvilket forenkler beregningerne på grund af manglen på komplekse multiplikationer [4] .

Noter

↑ Bracewell, 1990 , s. 34.
↑ Bracewell, 1990 , s. 36.
↑ Bracewell, 1990 , s. 97.
↑ Bracewell, 1990 , s. 91.

Litteratur

Bracewell, R. Hartley Transform. — M .: Mir , 1990. — 175 s. — ISBN 5-03-001632-5 . (Russisk)

Se også

Diskret kompleks transformation