Grev Dürer

Durer-grafen  er en urettet kubisk graf med 12 hjørner og 18 kanter. Grafen er opkaldt efter Albrecht Dürer , hvis indgravering " Melancholia " (1514) indeholdt et billede af det såkaldte Dürer-polyhedron  - et konveks polyeder med en Dürer-graf som skelet . Dürer-polyederet er et af fire mulige godt skjulte simple konvekse polyedere.

Dürers polyeder

Durer-polyederet er kombinatorisk ækvivalent med en terning med to afskårne modstående hjørner [1] , selvom det på Durers tegning snarere er tegnet som et afkortet rombohedron eller et trihedralt trunkeret trapez [2] . De nøjagtige geometriske egenskaber af polyederet tegnet af Dürer er genstand for akademiske stridigheder, hvor forskellige hypotetiske værdier af (spidse) vinkler fra 72° til 82° [3] antages .

Grafegenskaber

Dürer-grafen er den graf, der dannes af hjørnerne og kanterne på Dürer-polyederet. Grafen er kubisk med omkreds 3 og diameter 4. Da grafen er skelettet af Dürer polyhedron, kan den opnås ved at anvende en trekant-stjerne transformation af modsatte hjørner af terninggrafen eller som en generaliseret Petersen graf . Som enhver anden konveks polytopgraf er Dürer-grafen en top-3-forbundet simpel plan graf .

Dürer -grafen er godt skjult , hvilket betyder, at alle dens største uafhængige sæt har det samme antal hjørner, fire. Grafen er en af ​​de godt skjulte kubiske polyedriske grafer og en af ​​de syv godt skjulte 3-forbundne kubiske grafer. De andre tre godt skjulte simple konvekse polyedre er tetraederet , det trekantede prisme og det femkantede prisme [4] [5] .

Dürer-grafen er Hamiltonsk med LCF-notationen [-4,5,2,-4,-2,5;-] [6] . Mere præcist har grafen præcis seks Hamilton-cyklusser, hvoraf hvert par kan afbildes til et hvilket som helst andet ved hjælp af grafsymmetrier [7] .

Symmetrier

Automorfigruppen af ​​både Dürer-grafen og Dürer-polyederet (i form af en afkortet terning eller i form repræsenteret af Dürer) er isomorf med den dihedrale gruppe af orden 12.

Galleri

• Det kromatiske indeks for Dürer-grafen er 3.

• Grev Dürers kromatiske tal er 3.

• Dürers Hamilton-graf.

Noter

1. ↑ Weisstein, Eric W. Dürers Solid  på Wolfram MathWorld -webstedet .
2. ↑ Weber, 1900 .
3. ↑ Weitzel, 2004 .
4. ↑ Campbell, Plummer, 1988 .
5. ↑ Campbell, Ellingham, Royle 1993 .
6. ↑ Castagna og Prince ( Castagna, Prince (1972 )) tilskriver beviset for Hamilton-egenskaben for klassen af ​​generaliserede Peterson-grafer, som inkluderer Dürer-grafen, til 1968-afhandlingen af ​​GN Robertson fra University of Waterloo.
7. ↑ Schwenk (1989) .

Litteratur

• S.R. Campbell, M.N. Ellingham, Gordon F. Royle. En karakterisering af godt dækkede kubiske grafer // Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing. - 1993. - T. 13 . — S. 193–212 .
• Stephen R. Campbell, Michael D. Plummer. På godt dækkede 3-polytoper // Ars Combinatoria. - 1988. - T. 25 , no. A. _ — S. 215–242 .
• Frank Castagna, Geert Prins. Hver generaliseret Petersen-graf har en Tait Coloring // Pacific Journal of Mathematics . - 1972. - T. 40 . - doi : 10.2140/pjm.1972.40.53 .
• Allen J. Schwenk. Opregning af Hamiltonske cyklusser i visse generaliserede Petersen-grafer // Journal of Combinatorial Theory . - 1989. - T. 47 , no. 1 . — s. 53–59 . - doi : 10.1016/0095-8956(89)90064-6 .
• P. Weber. Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus. - Strassburg, 1900. (som citeret i Weitzel ( Weitzel (2004 )).
• Hans Weitzel. En yderligere hypotese om polyederet i A. Dürers gravering Melencolia I // Historia Mathematica. - 2004. - T. 31 , no. 1 . — S. 11–14 . - doi : 10.1016/S0315-0860(03)00029-6 .