Hypermetrisk rum

Et hypermetrisk rum er et metrisk rum med visse yderligere betingelser på metrikken.

Definition

Et hypermetrisk rum er et metrisk rum, hvor hypermetriske uligheder er gældende. Det er,

\sum _{i<j}b_{i}\cdot b_{j}\cdot |x_{i}-x_{j}|\leq 0

for alle punkter og heltal , sådan at . [en] $x_1,\prikker,x_n$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ $\sum b_{i}=1$

Noter

For og , den hypermetriske ulighed bliver den sædvanlige trekantsulighed $b_{1}=b_{2}=1$ $b_{3}=-1$ $|x_{1}-x_{2}|-|x_{1}-x_{3}|-|x_{2}-x_{3}|\leq 0.$

Eksempler

$\ell _{1}$ -rum og dets underrum.
Lad være en familie af målbare delmængder af rummet med mål . Hvis metrikken på er angivet som $Y$ $x$ $\mu$ $Y$ $|AB|_{Y}=\mu (A\trekant B)=\mu ((A\kop B)\setminus (A\cap B)),$

så er et hypermetrisk rum.

Y

Noter

↑ MM Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.