Harmoniske vibrationer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. april 2020; checks kræver 3 redigeringer .

Harmoniske svingninger er svingninger , hvor en fysisk størrelse ændres over tid i henhold til en harmonisk ( sinusformet , cosinus) lov.

Matematisk beskrivelse

Den harmoniske oscillationsligning har formen

x(t)=A\sin(\omega t+\varphi _{0})

eller

x(t)=A\cos(\omega t+\varphi _{0})

hvor

x - afvigelse af den oscillerende værdi på det aktuelle tidspunkt t fra gennemsnitsværdien for perioden (for eksempel i kinematik - forskydning, afvigelse af svingningspunktet fra ligevægtspositionen);
A er oscillationsamplituden, dvs. den maksimale afvigelse af den fluktuerende værdi fra gennemsnitsværdien for perioden, dimensionen A falder sammen med dimensionen x ;
ω ( radianer / s , grader / s) - cyklisk frekvens, der viser hvor mange radianer (grader) oscillationsfasen ændres på 1 s;
$(\omega t+\varphi _{0})=\varphi$ (radian, grad) - fuld fase af oscillationen (forkortet fase, ikke at forveksle med den indledende fase);
$\varphi_{0}$ (radian, grad) er den indledende fase af oscillationen, som bestemmer værdien af den samlede fase af oscillationen (og værdien x selv ) på tidspunktet t = 0.

Differentialligningen, der beskriver harmoniske svingninger, har formen

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.

Enhver ikke-triviel [1] løsning af denne differentialligning er en harmonisk oscillation med en cyklisk frekvens $\omega.$

Eksempler

Med en ensartet bevægelse af et punkt langs en cirkel, laver en harmonisk svingning en projektion (ortogonal) af dette punkt på enhver ret linje, der ligger i samme plan [2] . Svingninger, der er tæt på harmoniske, laves under påvirkning af tyngdekraften af en lille vægt ophængt på en tynd lang tråd - et matematisk pendul - ved små amplituder [3] . Harmoniske vibrationer under påvirkning af den elastiske kraft udføres af en vægt fastgjort mellem to fjedre på en vandret føring [4] . Harmoniske er torsionsvibrationerne af en vertikalt ophængt vægt, der spinder op under påvirkning af en elastisk kraft, de samme vibrationer udføres af balancestangen på et mekanisk ur [5] .

Generelt udfører et materialepunkt harmoniske svingninger, hvis de opstår som følge af påvirkningen af punktet af en kraft, der er proportional med forskydningen af svingningspunktet fra ligevægtspositionen og rettet modsat denne forskydning.

Der er eksempler på harmoniske svingninger ikke kun i mekanik - for eksempel i et LC-kredsløb uden dissipative tab forekommer ændringer i ladningen på kapacitansen , spænding og strøm i kredsløbet over tid i henhold til en harmonisk lov.

Typer af vibrationer

Frie svingninger udføres under påvirkning af systemets indre kræfter, efter at systemet er taget ud af ligevægt. For at frie svingninger skal være harmoniske, er det nødvendigt, at det oscillatoriske system er lineært (beskrevet ved lineære bevægelsesligninger), og der er ingen energidissipation i det (med dissipation uden nul, forekommer dæmpede svingninger i systemet efter excitation).
Tvangssvingninger udføres under påvirkning af en ekstern periodisk kraft. For at tvungne svingninger kan være harmoniske, er det tilstrækkeligt, at det oscillatoriske system er lineært (beskrevet ved lineære bevægelsesligninger), og den ydre kraft (påvirkning) ændrer sig over tid som en harmonisk svingning (det vil sige, at tidsafhængigheden af denne kraft til gengæld være sinusformet ).

Ansøgning

Harmoniske vibrationer skiller sig ud fra alle andre typer vibrationer af følgende årsager:

Meget ofte [6] kan små svingninger, både frie og tvungne , som forekommer i virkelige systemer, anses for at have form af harmoniske svingninger eller meget tæt på det.
Som Fourier etablerede i 1822 , kan en bred klasse af periodiske funktioner udvides til en sum af trigonometriske komponenter - i en Fourier-serie . Med andre ord kan enhver periodisk svingning repræsenteres som en sum af harmoniske svingninger med tilsvarende amplituder, frekvenser og indledende faser. Blandt vilkårene for denne sum er der en harmonisk svingning med den laveste frekvens, som kaldes grundfrekvensen, og denne svingning i sig selv er den første harmoniske eller grundtone, mens frekvenserne af alle andre led, harmoniske svingninger, er multipla af grundfrekvensen, og disse svingninger kaldes højere harmoniske eller overtoner - den første, anden osv. [7]
For en bred klasse af systemer er responsen på en harmonisk effekt en harmonisk oscillation (linearitetsegenskab), mens forholdet mellem effekt og respons er en stabil karakteristik af systemet. Under hensyntagen til den tidligere egenskab giver dette os mulighed for at studere passagen af oscillationer af en vilkårlig form gennem systemerne.

Se også

Noter

↑ Det vil sige ikke identisk lig med nul.
↑ Landsberg, 2003 , s. 17.
↑ Landsberg, 2003 , s. 2,25.
↑ Landsberg, 2003 , s. 27-29.
↑ Landsberg, 2003 , s. 29-30.
↑ Den underforståede betingelse her er, at systemets egenskaber skal være konstante i tid (hvilket i virkeligheden ret ofte er sandt, i hvert fald omtrentligt).
↑ Landsberg, 2003 , s. 43.

Litteratur

Elementær lærebog i fysik / Ed. G.S. Landsberg . - 13. udg. - M. : FIZMATLIT , 2003. - T. 3. Oscillationer og bølger. Optik. Atom- og kernefysik.
Khaikin S. E. Fysiske grundlag for mekanik. - M. , 1963.
A. M. Afonin. Fysiske grundlag for mekanik. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
Gorelik G.S. Oscillationer og bølger. Introduktion til akustik, radiofysik og optik. - M. : Fizmatlit, 1959. - 572 s.