Vurdering

Værdiansættelse er en generalisering af begrebet mål , normalt defineret på konvekse sæt af euklidisk rum .

Definition

Lad være klassen af alle ikke-tomme kompakte konvekse sæt i . En værdiansættelse på er en funktion sådan, at ligheden $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

gælder for enhver sådan , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Noter

En værdiansættelse siges at være kontinuerlig , hvis den er kontinuerlig i forhold til Hausdorff-metrikken .
En værdiansættelse siges at være bevægelsesinvariant hvis for enhver bevægelse φ og enhver bevægelse $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Eksempler

Gennemsnitlig tværmål

$k$ Det gennemsnitlige tværmål af et legeme er defineret som det gennemsnitlige dimensionelle areal af projektioner på dimensionelle planer. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

I særdeleshed,

$W_{n}(S)$ - volumen , $S$
$W_{n-1}(S)$ er proportional med overfladearealet . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Dirac værdiansættelse

Dirac værdiansættelsen af et punkt er defineret som ${\displaystyle \delta _{x))$ $x$

\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{if}}~x\notin U\\1&{\text{if}}~x\in U\end{ sager}}

Egenskaber

Hadwigers sætning : Enhver kontinuerlig værdiansættelse, der er invariant under bevægelser, kan repræsenteres som en lineær kombination af krydsmål.
Enhver værdiansættelse på heltalspolytoper, der er invariant under heltalsforskydninger og er udtrykt som en lineær kombination af koefficienterne for Earhart-polynomiet . [en] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Litteratur

Semyon Alesker Introduktion til teorien om værdiansættelser på konvekse sæt Videooptagelser af forelæsninger, Sommer Matematikskole "Algebra og Geometri" 25.—31. juli 2014 Yaroslavl

Noter

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematik. 358, 202-208.