Asymptotisk normalt skøn

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. juni 2018; checks kræver 4 redigeringer .

Et asymptotisk normalt estimat er i matematisk statistik et estimat, hvis fordeling har en tendens til en normalfordeling , når stikprøvestørrelsen øges.

Definition

Lad være en prøve fra fordelingen afhængigt af parameteren . $X_{1},\ldots,X_{n},\ldots$ $\mathbb {P} _{\theta }$ $\theta \i \Theta$

Et punktestimat siges at være asymptotisk normalt med varians if ${\hat {\theta ))$ $\sigma \ ^{2}(\theta )$

{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z

ved uddeling kl .

n\til\infty

hvor er en normal stokastisk variabel . $Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)$

Bemærk

Tilsvarende er et estimat asymptotisk normalt hvis ${\hat {\theta ))$

{\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )))\to {\tilde {Z}}

ved uddeling kl .

n\til\infty

hvor . ${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$

Egenskaber

Det asymptotisk normale skøn er konsistent . ${\hat {\theta ))$
Når tilstrækkeligt generelle specifikationer er opfyldt, er estimatet af metoden for momenter asymptotisk normalt.

Eksempler

Lade være en prøve fra en kontinuerlig ensartet fordeling , hvor . Lade $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$ $\theta >0$

{\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}

hvor er prøvegennemsnittet , og ${\bar {X}}$

{\displaystyle {\hat {\theta }}_{2}=X_{(n)))

hvor . Så er estimatoren asymptotisk normal med varians , men estimatoren er ikke asymptotisk normal. $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\hat {\theta }}_{1}$ $\sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3$ ${\hat {\theta }}_{2}$