Algebra af toppunktsoperatorer

Vertex operator algebraer blev først introduceret af Richard Borcherds i 1986 . Vigtigt for strengteori , konform feltteori og relaterede områder af fysik. Aksiomerne for algebraen af toppunktoperatorer er den formelle algebraiske fortolkning af det, fysikere kalder chiral algebra .

Vertex operator algebraer har vist sig nyttige i rent matematiske områder såsom Langlands Geometric Correspondence og beviset for den monstrøse nonsensformodning .

Eksempler

Gitteret Z i R giver en superalgebra af toppunktoperatorer svarende til en kompleks fermion . Dette er en anden måde at formulere den bosonisk-fermioniske korrespondance på . Det fermioniske felt ψ( z ) og dets konjugerede felt ψ † ( z ) er givet ved:

\psi (z)=\sum e_{n}z^{-n-1},\ \ \psi ^{\dolk}(z)=\sum e_{n}^{*}z^{ n},\ \ \{e_{n},e_{m}\}=0,\ \ \{e_{m},e_{n}^{*}\}=\delta _{m,n}I .

Korrespondance mellem fermioner og et ladet bosonisk felt

\phi (z)=\sum a_{n}z^{-n-1},\ \ [a_{m},a_{n}]=m\delta _{n+m,0}I ,\ \ Ua_{n}U^{-1}=a_{n}-\delta _{n,0}I

tager formen

\phi (z)=\;\colon \psi ^{\dolk }(z)\psi (z)\colon

\psi (z)=U\;\colon \exp \int \phi (z)\colon

hvor normaleksponenterne fortolkes som toppunktsoperatorer.

Gitteret √2 Z i R giver toppunktsoperatoren algebra svarende til den affine Kac-Moody algebra for SU ( 2) på første niveau . Det implementeres af felterne

H(z)=\phi(z)\nogle gange I - I\nogle gange \phi(z)

E(z)=\psi(z)\nogle gange \psi^\dolk(z)

F(z)=\psi^\dolk(z)\nogle gange \psi(z)

Litteratur

Lepowski D., Lee H. Introduktion til toppunktoperatoralgebraer og deres repræsentationer. - Izhevsk: RHD 2008. - 424 s. — ISBN 978-5-93972-664-1
Kats VG Vertex algebraer for begyndere / Pr. fra engelsk. — M.: MTsNMO, 2005. — 200 s. — ISBN 5-94057-124-7 .
Shekhtman VV Vertex algebraer relateret til algebraiske varianter. — s. 91-104 Arkiveret 8. februar 2013 på Wayback Machine .