Euler vinkler

Euler - vinkler er vinkler, der beskriver rotationen af et absolut stift legeme i det tredimensionelle euklidiske rum . Introduceret af Leonhard Euler .

Sammenlignet med Euler-vinkler gør quaternions det lettere at kombinere rotationer, samt undgår problemet med ikke at kunne rotere rundt om en akse, uanset den perfekte rotation i andre akser (se Quaternioner og rotation af rummet ).

Definition

Euler-vinkler definerer tre rotationer af systemet, som giver dig mulighed for at bringe enhver position af systemet til den nuværende. Lad os udpege det indledende koordinatsystem som , endeligt som . Skæringspunktet mellem koordinatplanerne kaldes linjen af knudepunkter . $(x,y,z)$ $(X,Y,Z)$ $xy$ $XY$ $N$

Vinklen mellem aksen og knudelinjen er præcessionsvinklen. $\alfa$ $x$
Vinklen mellem akserne og er nutationsvinklen. $\beta$ $z$ $Z$
Vinklen mellem linjen af knudepunkter og aksen er vinklen for dens egen rotation. $\gamma$ $x$

Systemets rotationer gennem disse vinkler kaldes præcession , nutation og rotation gennem sin egen vinkel ( rotation ). Sådanne rotationer er ikke- kommutative , og systemets endelige position afhænger af den rækkefølge, rotationerne udføres i. I tilfælde af Euler-vinkler udføres en serie på tre rotationer:

Vinkel omkring aksen . I dette tilfælde ændres aksen til . $\alfa$ $z$ $x$ $N$
Vinkel omkring aksen . I dette tilfælde ændres aksen til . $\beta$ $N$ $z$ $Z$
Vinkel omkring aksen . I dette tilfælde ændres aksen til . $\gamma$ $Z$ $N$ $x$

Nogle gange kaldes en sådan sekvens 3,1,3 (eller Z,X,Z), men denne notation kan føre til tvetydighed.

Formler

Euler-vinkler beskriver en sekventiel kombination af passive rotationer omkring akserne i et roterende koordinatsystem. Matricerne for disse rotationer har formen:

$R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )&0\\\sin(\alpha )&\cos (\alpha )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right),\quad R_{X}(\beta )=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos( \beta )&-\sin(\beta )\\0&\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right),\quad R_{Z}(\gamma )= \left({\begin{array}{ccc}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end {array}}\right).$

Udførelse af disse rotationer sekventielt vil give matrixen:

$R=R_{Z}(\gamma )\cdot R_{X}(\beta )\cdot R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\ alpha )\cos(\gamma )-\cos(\beta )\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\alpha )-\cos(\alpha )\cos (\beta )\sin(\gamma )&\sin(\beta )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\gamma )\sin(\alpha )+\cos(\alpha ) \sin(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )\sin(\ beta )\\\sin(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right).$

Produktet , hvor er koordinaterne for punktet før rotationen, vil give koordinaterne for punktet i det bevægelige koordinatsystem efter rotationen. Før og efter rotation er koordinaterne for et punkt i et fast koordinatsystem uændrede. $R\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ $x,y,z$

Se også

Liste over objekter opkaldt efter Leonhard Euler
Rul , hældning og krøjning er vinkelbevægelserne af et fly eller et andet køretøj
Rotationsmatrix
Seks frihedsgrader

Litteratur

Berezkin E. N. Kurset i teoretisk mekanik - 2. udg., Per. - M .: Forlag ved Moscow State University. 1974. - 641 s.
Zhuravlev VF Fundamentals of Theoretical Mechanics - 2. udg. — M.: Fizmatlit , 2001. S. 23.
Whittaker E. Analytisk dynamik S.25