Massecentrum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juli 2022; checks kræver 3 redigeringer .

Massecentret (også inerticentret ) er et geometrisk punkt, hvis position bestemmes af massefordelingen i kroppen, og forskydningen karakteriserer kroppens eller det mekaniske systems bevægelse som helhed [1] . Radiusvektoren for et givet punkt er givet ved formlen

{\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r }}){\vec {r}}dV,

hvor er den koordinatafhængige tæthed, og integrationen udføres over kroppens volumen. Massecentret kan være enten inde i eller uden for kroppen. $\rho ({\vec {r)))$

Brugen af begrebet massecenter samt koordinatsystemet forbundet med massecenter er praktisk i mange mekanikanvendelser og forenkler beregninger. Hvis eksterne kræfter ikke virker på et mekanisk system, bevæger dets massecenter sig med en konstant hastighed i størrelse og retning.

Giovanni Ceva anvendte hensynet til massecentre til løsning af geometriske problemer, som et resultat heraf blev Menelaos ' sætninger og Cevas sætninger formuleret [2] .

I tilfælde af systemer af materielle punkter og kroppe i et homogent tyngdefelt falder massecentret sammen med tyngdepunktet, selvom der i det generelle tilfælde er tale om forskellige begreber.

Massecenter i klassisk mekanik

Definition

Positionen af massecentret (inerticentrum) af et system af materialepunkter i klassisk mekanik bestemmes som følger [3] :

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec r}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}} },

hvor er radiusvektoren for massecentret, er radiusvektoren for systemets i - te punkt, er massen af det i - te punkt. ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ $m_{i}$

I tilfælde af kontinuerlig massefordeling:

{\vec r}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec r}){\vec r}dV,

M=\int \limits _{V}\rho ({\vec r})dV,

hvor er systemets samlede masse, er rumfanget, er massefylden. Massecentret karakteriserer således fordelingen af masse over et legeme eller et system af partikler. $M$ $V$ $\rho$

Hvis systemet ikke består af materielle punkter, men af udvidede legemer med masser , så er radiusvektoren for et sådant systems massecenter relateret til radiusvektorerne for legemers massecentre ved forholdet [4] : $M_{i}$ $R_{c}$ $R_{{ci}}$

{\vec R}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec R}_{{ci))}{\sum \limits _{i}M_{i }}}.

Lad faktisk flere systemer af materialepunkter med masser af radius-vektorsystemet blive givet: $M_{1},M_{2},...M_{N}.$ ${\vec {R}}_{c_{n}}$ $n$

{\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_ {n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{ \vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n }}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}= {\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

Ved overgang til udvidede legemer med en kontinuerlig tæthedsfordeling, vil formlerne indeholde integraler i stedet for summer, hvilket vil give samme resultat.

Med andre ord, i tilfælde af udvidede kroppe, er en formel gyldig, som i sin struktur falder sammen med den, der bruges til materielle punkter.

Eksempler

Massecentre af flade homogene figurer

Segmentet har en midterste.
For polygoner:
- Et parallelogram har et punkt, hvor diagonalerne skærer hinanden .
- En trekant har et median skæringspunkt ( tyngdepunkt ).
En regulær polygon har et centrum for rotationssymmetri .
En halvcirkel har et punkt, der deler den vinkelrette radius i forhold til cirklens centrum. ${\frac {4}{3\pi }}$

Koordinaterne for massecentret af en homogen flad figur kan beregnes ved hjælp af formlerne (en konsekvens af Papp-Guldin-sætningerne ):

x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}

og hvor er kroppens volumen opnået ved at dreje figuren omkring den tilsvarende akse, er arealet af figuren.

y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}

V_{x},V_{y}

S

Massecentre for omkredse af homogene figurer

Massecentrum for trekantens sider er i midten af den indskrevne cirkel af den ekstra trekant (en trekant med spidser placeret i midtpunkterne på siderne af denne trekant). Dette punkt kaldes Spiekers centrum . Dette betyder, at hvis siderne af trekanten er lavet af en tynd tråd med samme tværsnit, så vil massecentret ( barycenter ) af det resulterende system falde sammen med midten af den indskrevne cirkel i den ekstra trekant eller med Spieker centrum.

Brug

Begrebet massecenter er meget udbredt i fysik, især i mekanik.

Bevægelsen af et stivt legeme kan betragtes som en overlejring af massecentrets bevægelse og kroppens rotationsbevægelse omkring dets massecenter. I dette tilfælde bevæger massecentret sig på samme måde som et legeme med samme masse, men uendelige små dimensioner ( materialepunkt ) ville bevæge sig. Sidstnævnte betyder især, at alle Newtons love er anvendelige til at beskrive denne bevægelse . I mange tilfælde kan man helt ignorere kroppens dimensioner og form og kun overveje bevægelsen af dens massecenter.

Det er ofte praktisk at overveje bevægelsen af et lukket system i en referenceramme , der er forbundet med massecentret. Et sådant referencesystem kaldes massecentersystemet (C-system), eller systemet med inerticenteret . I det forbliver det samlede momentum af et lukket system altid lig med nul, hvilket giver os mulighed for at forenkle ligningerne for dets bevægelse.

Massecenter i relativistisk mekanik

I tilfælde af høje hastigheder (i størrelsesordenen af lysets hastighed ) (for eksempel i elementær partikelfysik ) bruges SRT -apparatet til at beskrive systemets dynamik . I relativistisk mekanik (SRT) er begreberne massecenter og massecentersystem også de vigtigste begreber, dog ændres definitionen af begrebet:

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec r}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}} },

hvor er radiusvektoren for massecentret, er radiusvektoren for den ide partikel i systemet, er den ite partikels samlede energi . ${\vec r}_{c}$ ${\vec r}_{i}$ ${\displaystyle E_{i))$

Denne definition gælder kun for systemer af ikke-interagerende partikler. I tilfælde af interagerende partikler skal definitionen eksplicit tage højde for momentum og energi af feltet, som partiklerne skaber [5] .

For at undgå fejl skal det forstås, at i SRT er massecentret ikke karakteriseret ved fordelingen af masse, men af fordelingen af energi. I løbet af teoretisk fysik af Landau og Lifshitz foretrækkes udtrykket "inerticenter". I den vestlige litteratur om elementarpartikler bruges udtrykket "massecenter" ( engelsk center-of-mass ): begge udtryk er ækvivalente.

Hastigheden af massecentret i relativistisk mekanik kan findes ved formlen:

{\vec v}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec p} _{jeg}.

Relaterede begreber

Massecentrum vs. barycenter

Udtrykket "massecentrum" er synonymt med en af betydningerne af begrebet barycenter (fra oldgræsk βαρύς - tung + κέντρον - centrum), men sidstnævnte bruges hovedsageligt i problemer med astrofysik og himmelmekanik. Med barycenter menes det massecenter, der er fælles for flere himmellegemer, som disse legemer bevæger sig rundt om. Et eksempel ville være den fælles bevægelse af en planet og en stjerne (se figur) eller en komponent af binære stjerner . Massecentret (barycenter) er i dette tilfælde placeret på længdesegmentet, der forbinder kroppene med masser og , i en afstand fra kroppen . $l$ $m_1$ $m_2$ $s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$ $m_1$

En anden betydning af ordet barycenter refererer til geometri snarere end fysik; i denne værdi adskiller udtrykket for barycenterkoordinaten sig fra formlen for massecentrum ved fravær af tæthed (som om det altid var konst). $\rho =$

Massecentrum vs. tyngdepunkt

Kroppens massecenter må ikke forveksles med tyngdepunktet.

Tyngdepunktet i et mekanisk system er det punkt, i forhold til hvilket det samlede moment af tyngdekraften (der virker på systemet) er lig nul. For eksempel i et system bestående af to identiske masser forbundet med en ufleksibel stang og placeret i et inhomogent gravitationsfelt (for eksempel planeter), vil massecentret være i midten af stangen, mens tyngdepunktet for systemet vil blive forskudt til den ende af stangen, som er tættere på planeten (fordi vægten P = m g afhænger af gravitationsfeltparameteren g ), og generelt set er den endda placeret uden for stangen.

I et ensartet gravitationsfelt falder tyngdepunktet altid sammen med massecentret. I ikke-kosmiske problemer kan gravitationsfeltet normalt betragtes som konstant inden for kroppens volumen, så i praksis falder disse to centre næsten sammen.

Af samme grund falder begreberne massecenter og tyngdepunkt sammen, når disse termer bruges i geometri, statik og lignende områder, hvor dets anvendelse i sammenligning med fysik kan kaldes metaforisk, og hvor situationen for deres ækvivalens er implicit. antaget (da der ikke er noget reelt gravitationsfelt, giver det ikke mening at tage dets heterogenitet i betragtning). I disse anvendelser er de to udtryk traditionelt synonyme, og ofte foretrækkes det andet blot fordi det er ældre.

Se også

Noter

↑ Targ S. M. Inerticenter (massecenter) // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1999. - V. 5: Stroboskopiske apparater - Lysstyrke. - S. 624-625. — 692 s. — 20.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milano, 1678
↑ Zhuravlev, 2001 , s. 66.
↑ Feynman R. , Layton R., Sands M. Issue 2. Space. Tid. Bevægelse // Feynman foredrag i fysik . - M . : Mir, 1965. - 164 s. - S. 68.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988 . — 512 s. - ("Teoretisk fysik", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Litteratur

Bobylev D.K. Center, i fysik // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Zhuravlev VF Grundlæggende om teoretisk mekanik. 2. udg. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 s. — ISBN 5-94052-041-3 . .