Königs sætning (mekanik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Königs teorem giver os mulighed for at udtrykke den samlede kinetiske energi i et mekanisk system i form af massecentrets bevægelsesenergi og bevægelsesenergien i forhold til massecentret. Formuleret og bevist af J. S. König i 1751 [1]

Ordlyd

Den kinetiske energi i et mekanisk system er massecentrets bevægelsesenergi plus bevægelsesenergien i forhold til massecentret:

{T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,

hvor er systemets samlede kinetiske energi, er den kinetiske energi af massecentrets bevægelse, er systemets relative kinetiske energi [2] . $T$ $T_{0}$ $T_{r}$

Med andre ord er den samlede kinetiske energi af et legeme eller system af kroppe i en kompleks bevægelse lig med summen af systemets energi i translationel bevægelse og energien af systemet i dets bevægelse i forhold til massecentret.

En mere præcis formulering [3] :

Den kinetiske energi af et system af materielle punkter er lig med summen af den kinetiske energi af hele systemets masse, mentalt koncentreret i dets massecenter og bevæger sig med det, og den kinetiske energi af det samme system i dets relative bevægelse med hensyn til det translationelt bevægende koordinatsystem med oprindelsen i massecentrum.

Konklusion

Lad os give et bevis på Königs sætning for det tilfælde, hvor masserne af de legemer, der danner det mekaniske system, er fordelt kontinuerligt [4] . $S$

Lad os finde den relative kinetiske energi af systemet , fortolke det som den kinetiske energi beregnet med hensyn til det bevægelige koordinatsystem . Lad være radiusvektoren for det betragtede punkt i systemet i det bevægelige koordinatsystem. Derefter [5] : $T_{r}$ $S$ $\vec \rho$ $S$

T_r\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \ rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;,

hvor prikken angiver det skalære produkt , og integrationen udføres over området med plads, som systemet optager på det aktuelle tidspunkt.

Hvis er radiusvektoren for oprindelsen af det bevægelige system, og er radiusvektoren for det betragtede punkt i systemet i det oprindelige koordinatsystem, så er forholdet sandt: ${\vec r}_{0}$ ${\vec {r))$ $S$

\vec r\;=\;\vec r_0 + \vec \rho\;.

Lad os beregne den samlede kinetiske energi af systemet i det tilfælde, hvor oprindelsen af koordinaterne for det bevægelige system er placeret i dets massecentrum. Under hensyntagen til den tidligere relation har vi:

T\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r} {{\rm d}t}\,{\rm d}m\;=\;\frac{1}{2}\int \left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\cdot\left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\,{\rm d}m\;.

I betragtning af at radiusvektoren er den samme for alle , er det muligt, ved at åbne parenteserne, at tage den ud af integraltegnet : ${\vec r}_{0}$ ${\rm d}m$ $\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}$

T\;=\;\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r_0}{{ \rm d}t}\int \,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\int \ frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{1}{2} \int \frac{ {\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\ ;.

Det første led på højre side af denne formel (sammenfaldende med den kinetiske energi af et materialepunkt, som er placeret ved det bevægelige systems oprindelse og har en masse svarende til massen af det mekaniske system) kan fortolkes [2] som den kinetiske energi af massecentrets bevægelse.

Det andet led er lig med nul, da den anden faktor i det er lig med systemets momentum i forhold til massecentret, som er lig med nul.

Det tredje udtryk, som allerede er blevet vist, er lig med , Det vil sige systemets relative kinetiske energi . $T_{r}$ $S$

Se også

Noter

↑ Gernet, 1987 , s. 258.
↑ 1 2 Zhuravlev, 2001 , s. 72.
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mechanics. - S. 137-138. — 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Zhuravlev, 2001 , s. 71-72.
↑ Zhuravlev, 2001 , s. 71.

Litteratur

Gernet M. M. Kursus i teoretisk mekanik. 5. udg. - M . : Højere skole, 1987. - 344 s.
Zhuravlev VF Grundlæggende om teoretisk mekanik. 2. udg. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 s. — ISBN 5-94052-041-3 .