I grafteori er en t - beaclick - fri graf en graf, hvor der ikke er fuldstændige todelte grafer med 2 t toppunkter K t , t som undergrafer. En familie af grafer er fri for bicliques, hvis der findes et tal t , således at alle grafer i familien er fri for t -bicliques. Familier af cykelfri grafer udgør en af de mest generelle typer familier af sparsomme grafer . De opstår i forekomstproblemer i kombinatorisk geometri og bruges også i parametrisk kompleksitetsteori .
Ifølge Kovari-Cos-Turan-sætningen har enhver t -cykelfri graf med n toppunkter O ( n 2 − 1/ t ) kanter, dvs. grafen er meget sjældnere end den tætte graf [1] . Omvendt, hvis en familie af grafer er defineret af forbudte undergrafer eller er lukket under undergrafoptagelse og ikke inkluderer tætte grafer af vilkårlig stor størrelse, skal den være fri for t -bicliques for nogle t , ellers skal familien inkludere vilkårligt store tætte komplette grafer. todelte grafer.
Som en nedre grænse formodede Erdős, Hajnal og Muun [2] , at enhver maksimal t -biclique-fri todelt graf (hvortil en kant ikke kan tilføjes uden at skabe en t -biclique) har mindst ( t − 1)( n + m − t + 1) kanter, hvor n og m er antallet af hjørner på hver af grafens dele [3] .
En graf med degeneration d er nødvendigvis fri for ( d + 1) -bicliques. Desuden må en familie af biclique-frie grafer intetsteds være tæt, hvilket betyder, at der for ethvert tal k eksisterer en graf, der ikke er en k - lille mol af nogen graf i familien. Især hvis der eksisterer en n -hjørnegraf, der ikke er en 1-slanke mol, så skal familien være fri for n -bicliques, da alle grafer med n knudepunkter er 1-shule mol af grafen K n , n . Således forener biclique-fri familier af grafer to af de mest generelle klasser af sparsomme grafer [4] .
I kombinatorisk geometri er mange typer af incidensgrafer kendt for at være fri for bi-kliker. Som et simpelt eksempel indeholder incidensgrafen for et begrænset sæt punkter og linjer på det euklidiske plan bestemt ikke en K 2,2 - undergraf [5] .
Biclique-frie grafer bruges i parametrisk kompleksitetsteori til at udvikle algoritmer, der er effektive til sparsomme grafer med tilstrækkeligt små inputparametre. Især at finde et dominerende sæt af størrelse k på t -biclick-frie grafer er et problem, der kan løses med faste parametre ved at bruge parameteren k + t , selvom der er gode grunde til, at dette ikke er muligt kun ved at bruge parameteren k uden t . De samme resultater gælder for mange varianter af det dominerende sætproblem [4] . Kontrol af, om det dominerende sæt har størrelsen på højst k , kan også transformeres til en anden kontrol med samme parameterisering ved at kæde indsættelser og deletioner af hjørner, hvorved dominansegenskaben bevares [6] .