Omkreds af Villarceau

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. marts 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Villarceaus cirkler - opkaldt efter den franske astronom og matematiker Yvon Villarceau (1813-1883) - er et par cirkler , der opnås ved at skære en omdrejningstorus med et "diagonalt" tangentplan, der går gennem midten af torusen. På grund af torusens symmetri berører dette plan torusens overflade to gange, det vil sige, at det er bitangent.

Familierne af paralleller, meridianer og to familier af Villarceau-cirkler danner tilsammen fire parvise tværgående familier af cirkler på torus. [1] De konforme billeder af revolutionens torus, Dupin-cykliderne , har den samme egenskab - at have fire parvise tværgående familier af cirkler .

Formel og bevis for eksistens

Lad to skærende cirkler med radius være givet ved formlerne $R,(r<R)$

$(x+r)^{2}+y^{2}-R^{2}=0,$

$(xr)^{2}+y^{2}-R^{2}=0.$

Produktet af disse to ligninger kan reduceres til formen

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2(R^{2}+r^{2})x^{2}-2(R^{2}-r ^{2})y^{2}+(R^{2}-r^{2})^{2}=0.$

Denne fjerde-ordens ligning definerer to skærende cirkler og er naturligvis en torisk snitformel . I cirklernes skæringspunkter skærer kurver sig, som samtidig hører til sektionsplanet og torusens overflade. Derfor rører skæreplanet på disse punkter overfladen af torusen.

Litteratur

Yvon Villarceau, Antoine Joseph François . Théorème sur le tore (fransk) // Nouvelles Annales de Mathématiques :magasin. - Paris: Gauthier-Villars, 1848. - Vol. 7 Serie 1 . - s. 345-347 .
Coxeter, HSM Introduktion til geometri (ubestemt) . — 2/e. - Wiley, 1969. - S. 132-133 . — ISBN 978-0-471-50458-0 .

Se også

Noter

↑ "Dimensions" matematikfilmkommentar til kapitel 7 og 8 Arkiveret 29. september 2009 på Wayback Machine .

Omkreds af Villarceau

Formel og bevis for eksistens

Litteratur

Se også

Noter

Links