Calabi-Yau Space

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Calabi-Yau-rummet ( Calabi-Yau-manifold ) er en kompakt kompleks manifold med en Kähler-metrik , for hvilken Ricci-tensoren forsvinder. I superstrengteorien antages det nogle gange, at rumtidens ekstra dimensioner har form af en 6-dimensionel Calabi-Yau-manifold, hvilket fører til ideen om spejlsymmetri . Navnet blev opfundet i 1985 [1] , til ære for Eugenio Calabi , som først foreslog [2] [3] at sådanne dimensioner kunne eksistere, og Yau Shintuna , som i 1978 beviste [4] Calabis formodning .

Et komplekst -dimensionelt Calabi-Yau-rum er et -dimensionelt Riemann-manifold med en Ricci-flad metrisk og en yderligere symplektisk struktur. $n$ $2n$

Orienterbarhed og holomorf orienteringsevne

Glatte manifolder er opdelt i orienterbare og ikke-orienterbare. Historisk set var det første eksempel på en ikke-orienterbar manifold Möbius-strimlen (og på en måde er dette det vigtigste eksempel: en todimensionel glat manifold er ikke-orienterbar, hvis og kun hvis den indeholder en Möbius-strimmel). Med hensyn til differentialformer er orienterbarhedsbetingelsen formuleret som følger: en manifold er orienterbar, hvis og kun hvis den tillader en differentialform af højeste grad, der ingen steder forsvinder ( volumenform ). I geometri er ikke-orienterbare manifolds mere en kuriosum, eftersom enhver ikke-orienterbar manifold tillader et dobbeltdæksel , hvis samlede rum er orienterbart (det såkaldte orienteringsdæksel). Det er praktisk at konstruere det ved hjælp af teorien om vektorbundter . Vi skal nemlig overveje den højeste ydre grad af cotangensbundtet - med andre ord, hængende over hvert punkt en reel linje, der parametriserer alle mulige former for volumen på tangentrummet på dette punkt, vælg i hvert lag skalarproduktet (f. for eksempel ved at bruge divisionen af enhed ), og derefter overveje i den vektorer af enhedslængde (det vil sige to vektorer over hvert punkt). Tangentrummet i punktet , hvor p er et punkt i vores manifold og a er et ikke-nul volumenelement, projiceres isomorf på , og ved at indføre et volumenelement i det, der er lig med , opnår vi en intetsteds forsvindende form af højeste grad på den samlede plads af denne belægning. En lignende konstruktion, når hvert punkt erstattes af et mellemrum, der parametriserer alle slags strukturer af en bestemt karakter på dette tidspunkt (i dette tilfælde et par punkter), og derefter indføres en eller anden struktur på det resulterende fiberrum , i mere komplekse tilfælde kaldes en twistor-konstruktion . $(p,\nu )$ $\nu \in \Lambda ^{n}T_{p}^{*}$ $T_{p}$ $\nu$

Alt ovenstående gælder kun for rigtige glatte manifolds (det vil sige bestående af kort, hvorimod overgangsfunktionerne er uendeligt differentiable). I kompleks geometri kan man give følgende

Definition. Lad være en kompleks mangfoldighed af kompleks dimension . Et holomorft bundt, hvis fiber i et punkt er en kompleks ydre magt , kaldes et kanonisk bundt . Hvis en manifold indrømmer en intetsteds degenereret holomorf sektion af det kanoniske bundt, kaldes det en Calabi-Yau-manifold , og denne sektion kaldes en holomorf volumenform . $x$ $n$ $K_{X}$ ${\displaystyle K_{x))$ $x\i X$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n}T_{x}^{*}$ $x$

For eksempel, når er en kompleks kurve eller en Riemann-overflade , er det kanoniske bundt blot et holomorf cotangensbundt. Dens sektioner er holomorfe 1-former eller abelske differentialer . Den eneste Riemann-overflade, der tillader en abelsk differential uden nuller, er torus, dvs. den elliptiske kurve . $x$

Samtidig er der en vis forvirring i terminologien (som vil blive forklaret nedenfor): nogle gange kræves Calabi-Yau-varianter for at forsvinde (eller i det mindste begrænse) den grundlæggende gruppe. Nogle forfattere går endnu længere og henviser kun definitionen af "Calabi-Yau" til de manifolds, for hvilke Hodge-tallene alle er lig med nul ved (tilhængere af en svagere konvention kalder sådanne manifolder "strenge Calabi-Yau"). Næsten alle forfattere kræver den Kählerske tilstand , som a priori ikke er relateret til tilstedeværelsen af en holomorf volumenform. Endelig, for matematikere, medmindre andet er angivet, antages Calabi-Yau-manifolder at være kompakte, men ikke-kompakte Calabi-Yau-manifolder er også vigtige i applikationer: i sådanne tilfælde er det sædvanligt at inkludere i definitionen en betingelse på det asymptotiske opførsel af den holomorfe volumenform i det uendelige. Der er andre variationer af definitionen forbundet med de differential-geometriske egenskaber af Calabi-Yau manifolder. I forbindelse med alt dette kaldes manifolder, der opfylder ovenstående definition, nogle gange "holomorfisk orienterbare" i jargon . Fremover mener vi med udtrykket "Calabi-Yau" en kompakt Kählerian holomorfisk orienterbar manifold. $h^{p,0}$ $0<p<n$

Fra en generel kompleks manifold, der ikke er holomorfisk orienterbar, er det umuligt at opnå en Calabi-Yau manifold ved en simpel konstruktion som en orienterende belægning. Faktisk er den karakteristiske klasse for et komplekst bundt den første Chern-klasse . For at have en holomorf volumenform (det vil sige trivialisering ), er det nødvendigt at annullere denne klasse. Til sammenligning tager de karakteristiske klasser af rigtige linjebundter, Stiefel-Whitney klasserne , værdi i , kohomologigruppen med koefficienter i restringen modulo to, og forsvinder ikke overraskende efter en passende dobbeltdækning. $K$ $c_{1}(K_{X})\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $K_{X}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Ricci-flad metrisk

På Kähler-manifolds har Ricci-krumningen en bemærkelsesværdig egenskab: hvis er en operator af en kompleks struktur, så er 2-formen defineret som lukket og ligger i kohomologiklassen , Chern-klassen i det kanoniske bundt. Dette kan verificeres, for eksempel ved en eksplicit koordinatberegning af krumningen af det kanoniske bundt på en Kähler-manifold og bevist ved hjælp af Chern-Weil-teorien . Formen kaldes Ricci-formen . $jeg$ $\rho (x,y)=\mathrm {Ric} (Ix,y)$ $c_{1}(K)$ $\rho$

Calabis hypotese (1954, 1957) blev praktisk talt løst af ham - kun et ekstremt subtilt analytisk øjeblik, som ikke havde nogen direkte relation til geometri, bukkede ikke under for ham. Efter at denne analytiske påstand blev bevist af Yau (1977, 1978), kaldes den med rette Calabi-Yau-sætningen (eller Yaus løsning på Calabi-formodningen ).

Sætning. Lad være en kompakt Kähler-manifold, dens Kähler-form, og vær en form, der repræsenterer den første Chern-klasse. Så eksisterer der en Kähler-metrik , således at dens Kähler-form tilhører den samme kohomologiklasse som (dvs. formen er nøjagtig), og metrikkens Ricci-form er . $(X,g)$ $\omega$ $R\in c_{1}(K_{X})$ $x$ ${\tilde {g))$ ${\tilde {\omega ))$ $\omega$ ${\tilde {\omega }}-\omega$ ${\tilde {g))$ $R$

For en Calabi-Yau-manifold med , kan man anvende sætningen på formen , og opnå en ikke-triviel $c_{1}(K_{X})=0$ $R=0$

Følge. På en Calabi-Yau-manifold indrømmer hver Kahler-klasse en Ricci-flad metrik.

Samtidig indebærer forsvinden af Ricci-krumningen af en Kähler-manifold endnu ikke trivialiteten af det kanoniske bundt (og følgelig tilstedeværelsen af en holomorf volumenform): naturligvis Ricci-formens klasse i de Rham kohomologi vil være nul, men dette udelukker ikke det faktum, at den integrerede Chern-klasse er en ikke-nul-klasse i torsionsundergruppen af . Nogle gange er sådanne sorter også inkluderet i definitionen af Calabi-Yau sorter. $[\rho ]\in H_{\mathrm {dR} }^{2}(X)$ $c_{1}(K_{X})$ $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Levi-Civita-forbindelsen af en Ricci-flad kahlerisk metrik bevarer ikke kun den hermitiske struktur i tangentrum (det vil sige, dens holonomi ligger ikke kun i gruppen $\mathrm {U} (n)$ ), som det sker på enhver kahlersk manifold, men også den holomorfe volumenform ( det vil sige, at holonomi ligger i gruppen ${\mathrm {SU}}(n)$ ). Dette er en af grupperne i Berger-tabellen , og dette udgør den differential-geometriske definition af Calabi-Yau-manifolderne. Differentialgeometre nægter rutinemæssigt navnet "Calabi-Yau" til manifolds, hvor Levi-Civita-forbindelsen holonomigruppen er strengt indeholdt i (som i tilfældet med flade metrikker på en torus, for eksempel), og er ikke nøjagtigt lig med denne gruppe . ${\mathrm {SU}}(n)$

Eksempler og klassifikation

I det endimensionelle tilfælde er ethvert Calabi-Yau-rum en torus , der behandles som en elliptisk kurve . Generelt er en kompleks torus af enhver dimension en Calabi-Yau-manifold. En Ricci-flad metrisk i dette tilfælde er simpelthen en flad metrik, og dette er det eneste kendte tilfælde, hvor det kan skrives i en fordøjelig formel. $\mathbf {T} ^{2}$

Alle todimensionelle Calabi-Yau-rum er tori- og såkaldte K3-overflader . Klassificering i højere dimensioner er ikke fuldstændig, herunder i det vigtige tredimensionelle tilfælde. Et eksempel på en -dimensional Calabi-Yau-manifold er en glat hyperoverflade af grad B ( eller generelt en glat antikanonisk divisor - det vil sige nulniveauet af sektionen af bundtet dobbelt til den kanoniske - på en hvilken som helst manifold, hvor det antikanoniske bundt tillader sektioner). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{4))$ $n$ $n+2$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n+1}$

Bogomolovs dekomponeringssætning

Et vigtigt strukturelt resultat af teorien om Calabi-Yau-manifolderne er Bogomolovs (nogle gange Beauville - Bogomolov ) dekomponeringssætning .

Sætning. Enhver kompakt Kähler-manifold med en holomorf volumenform (og følgelig en Ricci-flad metrisk) tillader en endelig dækning , der nedbrydes til et ortogonalt produkt , hvor: $x$ $X'\to X$ ${\displaystyle X'=T\times \prod _{i=1}^{m}Y_{i}\times \prod _{j=1}^{k}Z_{j))$

$T$ er en kompleks torus med en flad metrisk,
$Y_{i}$ er strenge Calabi-Yau-manifolder, dvs. sådan, at for og , $h^{p,0}(Y_{i})=0$ ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{i))$ $h^{0,0}(Y_{i})=h^{\dim Y_{i},0}(Y_{i})=1$
${\displaystyle Z_{j))$ er irreducible holomorphically symplectic manifolds , det vil sige sådan, at og . $h^{2p,0}(Z_{j})=1$ $h^{2p+1,0}(Z_{j})=0$

Her er Hodge-tallene . Holomorfisk symplektiske manifolder er også kendt i differentialgeometri som hyperkähler manifolds (nomenklaturen i dette tilfælde, som i tilfældet med Calabi-Yau manifolds, er noget forvirrende). ${\displaystyle h^{p,q))$

En tidligere Calabi-sætning, bevist under hypotesen om hans navn, udtalte en lignende kendsgerning, men uden at skelne mellem strenge Calabi-Yau og irreducible holomorfisk symplektiske manifolder. [5] Sætningen blev bevist (uden en note i parentes, endnu ikke etableret på det tidspunkt) i 1974 af Bogomolov i hans papir Om nedbrydning af Kähler-manifolder med en triviel kanonisk klasse . [6] I 1978 brugte Bogomolov dette resultat til at bevise, at klassen af holomorfisk symplektiske manifolder er udtømt af K3-overflader . Dette bevis viste sig at være fejlagtigt: i 1983 gav Beauville eksempler på holomorfisk symplektiske mangfoldigheder ( Hilbertskemaet med punkter på en K3-overflade eller Hilbertskemaet med punkter på en Abelsk overflade, der summerer med nul, den såkaldte generaliserede Kummer manifold ). Samtidig gav han endnu et differentialgeometrisk bevis på Bogomolovs sætning, baseret på Yaus løsning på Calabi-formodningen. [7] $n$ $n+1$

Brug i strengteori

Strengteori bruger tredimensionel (real-dimensionel dimension 6) Calabi-Yau-manifolder som et lag af rum-tid komprimering , således at hvert punkt i fire-dimensionel rum-tid svarer til et Calabi-Yau rum.

Mere end 470 millioner 3D Calabi-Yau rum [8] er kendt for at opfylde strengteoriens ekstra dimensionskrav.

Et af strengteoriens hovedproblemer (i betragtning af den nuværende udviklingstilstand) er en sådan prøve fra den angivne tilfredsstillende delmængde af tredimensionelle Calabi-Yau rum, hvilket ville give den mest passende begrundelse for antallet og sammensætningen af familier af alle kendte partikler. Fænomenet frit valg af Calabi-Yau-rum og fremkomsten af et stort antal falske vakuum i strengteori i denne forbindelse er kendt som strengteoriens landskabsproblem . Hvis den teoretiske udvikling på dette område samtidig fører til valget af et enkelt Calabi-Yau rum, der opfylder alle kravene til ekstra dimensioner, vil dette blive et meget vægtigt argument til fordel for strengteoriens sandhed [9] .

Noter

↑ Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew & Witten, Edward (1985), Vakuumkonfigurationer for superstrenge , Nuclear Physics B Vol. 258: 46-74 , DOI 10.1016/0550-3213(85)90602-9
↑ Calabi, Eugenio (1954), The space of Kähler metrics, Proc. Internat. Kongres matematik. Amsterdam , s. 206-207
↑ Calabi, Eugenio (1957), Om Kähler-manifolder med forsvindende kanonisk klasse, algebraisk geometri og topologi. Et symposium til ære for S. Lefschetz , Princeton University Press , s. 78-89, MR : 0085583
↑ Yau, Shing Tung (1978), Om Ricci-krumningen af en kompakt Kähler-manifold og den komplekse Monge-Ampère-ligning. I , Communications on Pure and Applied Mathematics bind 31 (3): 339-411, MR : 480350 , ISSN 0010-3640 , DOI 10.1002/cpa.3160310304
↑ E. Calabi. På Kähler-manifolder med forsvindende kanonisk klasse , algebraisk geometri og topologi. Et symposium til ære for S. Lefschetz, s. 78-89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. Om nedbrydningen af Kähler-manifolder med en triviel kanonisk klasse Arkiveret 27. juli 2013 på Wayback Machine Mat. Lør. , 1974, bind 93(135), nummer 4, side 573-575
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Arkiveret 21. december 2019 på Wayback Machine , J. Differential Geom., bind 18, nummer 4 (1983), 755-782.
↑ Shintan Yau , Steve Nadis. Strengteori og skjulte dimensioner af universet. - Sankt Petersborg. : Piter Forlag, 2016. - 400 s. - ISBN 978-5-496-00247-9 .
↑ B. Grønt Elegant Univers. Superstrenge, skjulte dimensioner og søgen efter den ultimative teori . Om. fra engelsk, General udg. V. O. Malyshenko, - M . : EditorialURSS, 2004. - 288 s. — ISBN 5-354-00161-7 .

Litteratur

Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1990), Komplet Kähler-manifold med nul Ricci-krumning, I , Amer. Matematik. soc. Vol. 3 (3): 579-609 , DOI 10.2307/1990928
Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1991), Komplet Kähler-manifold med nul Ricci-krumning, II , Opfind. Matematik. V. 106 (1): 27–60 , DOI 10.1007/BF01243902