Levi-Prokhorov metrisk

Levi-Prokhorov metrikken ( Prokhorov metrikken ) er en metrik på rummet af endelige sandsynlighedsmål ; introduceret i 1956 af Yuri Prokhorov som en generalisering af Levy-metrikken (defineret af Paul Levy i 1937).

Det er defineret på rummet af alle endelige sandsynlighedsmål på et målbart rum , hvor er et metrisk rum og er en Borel sigma-algebra på det. For et undersæt er epsilon-kvarteret defineret som: ${\mathcal {P}}(M)$ $(M,{\mathcal {B))(M))$ $(M,d)$ ${\mathcal {B}}(M)$ $A\subseteq M$ $EN$

A^{\varepsilon }:=\{p\in M\mid \exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{ \varepsilon }(p)

hvor er en åben bold med radius centreret ved . Metrikken defineres ved at indstille afstanden mellem to sandsynlighedsmål og som: $B_{\varepsilon }(p)$ $\varepsilon$ $s$ $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ $\mu$ $\nu$

{\displaystyle \pi (\mu ,\nu):=\inf \venstre\{\varepsilon >0\midt \forall (A\in {\mathcal {B))(M))\,\mu (A) \leqslant \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ \wedge \ \nu (A)\leqslant \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \right\))

Naturligvis for sandsynlighedsmålinger . $\pi (\mu ,\nu )\leqslant 1$

Egenskaber

Hvis rummet kan adskilles , så svarer konvergensen af mål i Levi-Prokhorov-metrikken til den svage konvergens af mål . Således er en metrisering af topologien for svag konvergens af sandsynlighed på . $(M,d)$ $\pi$ ${\mathcal {P}}(M)$

Et metrisk rum kan adskilles , hvis og kun hvis det kan adskilles. $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ $(M,d)$

Hvis et rum er komplet , så er et komplet rum også. Hvis alle mål i har en adskillelig støtte for målingen , så er den omvendte påstand også sand: hvis er komplet, så er den fuldstændig. Dette er især tilfældet, når den kan adskilles. $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ $(M,d)$ ${\mathcal {P}}(M)$ $(M,d)$ $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ $(M,d)$

Hvis det kan adskilles og fuldstændigt, er en delmængde et relativt kompakt rum, hvis og kun hvis -lukningen er -kompakt. $(M,d)$ ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ $\pi$ $\pi$

Hvis det kan adskilles, hvor er Qi Fan's metriske [1] [2] . $(M,d)$ $\pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y)\mid {\tekst{Lov))(X)=\mu ,{\tekst{Lov))(Y) =\nu\}$ ${\displaystyle \alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0\midt \mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leqslant \varepsilon \))$

Noter

↑ Dudley, 1989 , s. 322
↑ Račev, 1991 , s. 159

Litteratur

Levy - Prokhorov metrisk - Encyclopedia of Mathematics artikel . V. M. Zolotarev
Patrick Billingsley. Konvergens af sandsynlighedsmål . - N. Y. : John Wiley & Sons, 1999. - ISBN 0-471-19745-9 .
RM Dudley. Reel analyse og sandsynlighed. - Pacific Grove, Californien: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. - ISBN 0-534-10050-3 .
Svetlozar T. Račev. Sandsynlighedsmålinger og stabiliteten af stokastiske modeller. - Chichester: Wiley, 1991. - ISBN 0-471-92877-1 .