Ordliste for algebraisk geometri

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

En

abelsk sort Komplet algebraisk gruppe. For eksempel en kompleks manifold eller en elliptisk kurve over et begrænset felt .

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n))

E

\mathbb {F} _{q}

algebraisk gruppe En algebraisk gruppe er en algebraisk sort , der også er en gruppe , og gruppeoperationerne er morfismer af sorterne. algebraisk skema Et adskilleligt endeligt typeskema over et felt. For eksempel er en algebraisk variant et reduceret irreducerbart algebraisk skema. algebraisk vektorbundt Lokalt frit skær af endelig rang. algebraisk variation Et heltalsadskilleligt skema af endelig type over et felt. algebraisk sæt Det reducerede separerbare skema af en endelig type over et felt. En algebraisk variant er et reduceret irreducerbart algebraisk skema. aritmetisk køn Den aritmetiske slægt af en projektiv varietet X med dimension r er .

(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)

artinisk ordning 0-dimensionelt Noethersk skema. affine 1. Et affint rum er groft sagt et vektorrum, hvor vi har glemt, hvilket punkt der er oprindelsen. 2. En affin sort er en sort i et affint rum. 3. Et affint skema er et skema, der er isomorft i forhold til spektret af en eller anden kommutativ ring. 4. En morfisme kaldes affin , hvis præbilledet af en åben affin delmængde er affin. Vigtige klasser af affine morfismer er vektorbundter og endelige morfismer .

B

birational morfisme En birational morfisme af skemaer er en morfisme af skemaer, der inducerer en isomorfi af deres tætte åbne undergrupper. Et eksempel på en birational morfisme er kortlægningen induceret ved at sprænge .

G

geometrisk slægt Den geometriske slægt af en glat projektiv varietet X med dimension n er

\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatørnavn {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})

(hvor lighed er Serres dualitetssætning . glat 1. Glatte morfismer er en multidimensionel analog af étale morfismer. Der er flere forskellige definitioner af glathed. Følgende definitioner af glatheden af en morfisme f : Y → X er ækvivalente: 1) for ethvert punkt y ∈ Y eksisterer der åbne affine kvarterer V og U af henholdsvis punkterne y , x = f ( y ), således at begrænsningen af f til V nedbrydes til en sammensætning af en étale morfisme og en projektion fra et n -dimensionelt projektivt rum over U . 2) f er flad, lokalt endeligt præsenteret, og for ethvert geometrisk punkt i Y (en morfisme fra et algebraisk lukket felt i Y ), er den geometriske fiber en glat manifold over i betydningen klassisk algebraisk geometri.

{\bar {y}}

k({\bar {y)))

X_{\bar {y}}:=X\ gange _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}})))

k({\bar {y)))

2. Et glat skema over et perfekt felt k er et regulært skema af lokalt endelig type. 3. Et skema X over et felt k er glat, hvis det er geometrisk glat: skemaet er glat.

X\ gange _{k}{\overline {k))

Picard gruppe Picard-gruppen X er gruppen af isomorfi-klasser af linjebundter på X , hvis gruppeoperation er tensorproduktet .

D

dominerende En morfisme f : X → Y siges at være dominerende , hvis billedet af f ( X ) er tæt . En morfisme af affine skemaer Spec A → Spec B er dominerende, hvis og kun hvis kernen af den tilsvarende kortlægning B → A er indeholdt i nilradical B . dualiserende stråle Et sammenhængende skær på X sådan, at Serre-dualiteten

\omega _{X}

H^{ni}(X,F^{\vee}\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}

gælder for ethvert sammenhængende skær F på X ; for eksempel, hvis X er en glat projektiv variant, så er det en kanonisk bunke .

W

lukket Lukkede underkredsløb af kredsløb X er konstrueret ved hjælp af følgende konstruktion. Lad J være en kvasi-sammenhængende bunke af idealer. Bæreren af kvotienten er en lukket delmængde Z af X og er et skema, kaldet et lukket delskema, defineret af en kvasi-kohærent idealskive J [1] . Grunden til, at definitionen af et lukket underkredsløb afhænger af en sådan konstruktion, er, at i modsætning til åbne undermængder har undergrupper med lukkede kredsløb ikke en unik kredsløbsstruktur.

{\mathcal {O}}_{X}/J

(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})

K

kanonisk model Den kanoniske model er Proj af den kanoniske ring (antaget at være endeligt genereret). kanonisk 1. Den kanoniske bøjle på en normal manifold X med dimension n er rækken af differentialformer af grad n på delmængden af glatte punkter .

{\displaystyle \omega _{X}=i^{*}\Omega _{U}^{n))

i:U\to X

2. Den kanoniske klasse på en normal sort X er en divisorklasse sådan, at .

K_{X}

{\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}

3. En kanonisk divisor er en repræsentant for den kanoniske klasse angivet med det samme symbol (ikke entydigt defineret).

K_{X}

4. Den kanoniske ring på en normal manifold X er ringen af sektioner af den kanoniske bunke. tangent mellemrum Se Zariski tangentrum . kvasi-kompakt morfisme En morfisme f : Y → X siges at være quasi-kompakt, hvis for nogle (og derefter for enhver) åben affin dækning af X med mængder U i = Spec B i , de inverse billeder af f −1 ( U i ) er kompakte . kvasifinit morfisme En morfisme af finit type, der har endelige fibre. næsten adskillelige En morfisme f : Y → X siges at være kvasi-adskillelig, hvis den diagonale morfisme Y → Y × X Y er kvasi-kompakt. Et skema Y er kvaseseparerbart, hvis en morfisme fra det til Spec( Z ) er kvasesepareret [2] . bestemt tænkeligt Hvis y er et punkt af Y , så er en morfi f endeligt præsenteret i y , hvis der eksisterer et åbent affint naboskab U af punktet f(y) og et åbent affint naboskab V af punktet y , således at f ( V ) ⊆ U og er en endeligt præsenteret algebra over (faktor endeligt genereret algebra af et endeligt genereret ideal). En morfisme f er lokalt endeligt præsentabel, hvis den er endeligt præsentabel på alle punkter af Y . Hvis X er lokalt Noetherian, så er f lokalt endeligt repræsentabel, hvis og kun hvis den er af lokalt finit type [3] . En morfisme f : Y → X er endeligt præsentabel, hvis den er lokalt endelig præsentabel, kvasikompakt og kvasisparabel. Hvis X er lokalt Noetherian, så er f endeligt repræsentabelt, hvis og kun hvis det er af endelig type.

{\mathcal {O}}_{Y}(V)

{\mathcal {O}}_{X}(U)

endelig morfisme En morfisme f : Y → X er endelig, hvis den kan dækkes af åbne affine mængder, således at hver af dem er affin — har formen — og er endeligt genereret som et -modul.

x

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

EN

B

sektionsring Snitringen af et linjebundt L på X er en graderet ring .

\oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})

L

lokalt Noetherian ordning Skema dækket med spektrene af Noetherske ringe . Hvis der er et begrænset antal spektre, kaldes skemaet Noetherian. lokal faktorordning En ordning, hvis lokale ringe er faktorielle .

M

Fano sort En glat projektiv sort, hvis antikanoniske skær er rigeligt.

{\displaystyle \omega _{X}^{-1))

Hilbert polynomium Hilbert-polynomiet af et projektivt skema X over et felt er Euler-karakteristikken .

f(s)=\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))

morfisme af en (lokalt) endelig type En morfisme f : Y → X er af lokalt endelig type, hvis den kan dækkes af åbne affine delmængder , således at hvert præbillede kan dækkes af åbne affine delmængder , hvor hver enkelt er endeligt genereret som en -algebra. En morfisme f : Y → X er af endelig type, hvis den kan dækkes af åbne affine delmængder , således at hvert præbillede kan dækkes af et endeligt antal åbne affine delmængder , hvor hver er endeligt genereret som en -algebra.

x

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

EN

B

x

{\text{Spec }}B

f^{-1}({\text{Spec }}B)

{\text{Spec }}A

EN

B

H

irreducerbart kredsløb Et skema kaldes irreducerbart, hvis det (som et topologisk rum) ikke er foreningen af to egentlige lukkede delmængder. uforgrenet morfisme For et punkt , overvej den tilsvarende morfisme af lokale ringe

y\in Y

f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}

. Lad være det maksimale ideal , og lad

{\mathfrak {m))

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)))

{\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}

er idealet genereret af billedet i . En morfisme kaldes uforgrenet, hvis den er af lokalt endelig type og for alle er det maksimale ideal for ringen og den inducerede kortlægning

{\mathfrak {m))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

f

y\in Y

{\mathfrak {n))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

{\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}

er en finit separerbar feltudvidelse. normalt kredsløb En hel ordning kaldes normal, hvis dens lokale ringe er integreret lukkede .

Åh

rigelig Et rigeligt linebundt er et linebundt, hvis en vis tensorkraft er meget rigelig. billede Hvis f : Y → X er en morfisme af skemaer, så er det skemateoretiske billede af f et unikt defineret lukket underskema i : Z → X , der opfylder følgende universelle egenskab:

f føres gennem i ,
hvis j : Z ′ → X er en hvilken som helst lukket underkreds af X , således at f passerer gennem j , så passerer i også gennem j . [fire]

adskillelig En adskillelig morfisme er en morfisme , således at diagonalen af det fiberformede produkt med sig selv er lukket. Som en konsekvens heraf er et kredsløb adskilleligt, når den diagonale indlejring i kredsløbsproduktet med sig selv er en lukket indlejring. Bemærk, at et topologisk rum Y er Hausdorff, hvis og kun hvis den diagonale indlejring

f

f

x

x

x

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\ gange Y

lukket. Forskellen mellem de topologiske og algebro-geometriske tilfælde er, at det topologiske rum i et skema adskiller sig fra produktet af topologiske rum. Ethvert affint skema Spec A kan adskilles, da diagonalen svarer til den surjektive kortlægning af ringene

X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X

A\otimes _{\mathbb {Z} }A\højrepil A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'

. åben underkreds Et åbent underkredsløb af et kredsløb X er et åbent undersæt af U med en strukturskive .

{\mathcal {O}}_{X}|_{U}

meget rigeligt Et linjebundt L på en manifold X er meget rigeligt, hvis X kan indlejres i et projektivt rum, således at L er begrænsningen af den snoede Serre-skive O (1).

P

flad morfisme Morfisme-inducerende plankortlægning af fibre . En ringhomomorfi A → B kaldes flad, hvis den gør B til et fladt A -modul. plurirod Den n'te plurigen af en glat projektiv sort er .

\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})

reduceret diagram En ordning, hvis lokale ringe ikke har nilpotenter, der ikke er nul. projektiv 1. En projektiv varietet er en lukket undervarietet af et projektivt rum . 2. Et projektivt skema over et skema S er et S - skema, der passerer gennem et eller andet projektivt rum som et lukket underskema.

\mathbf {P} _{S}^{N}\to S

3. Projektive morfismer defineres på samme måde som affine morfismer: f : Y → X kaldes projektive, hvis det nedbrydes til en sammensætning af en lukket indlejring og en projektion af et projektivt rum på .

\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X

x

R

inflation Et blow-up er en birational transformation, der erstatter et lukket underkredsløb med en effektiv Cartier divisor. Mere præcist, for et Noethersk skema X og et lukket underskema , er opblæsningen af Z i X en korrekt morfisme , således at (1) er en effektiv Cartier divisor, kaldet den exceptionelle divisor, og (2) er et universelt objekt med ejendom (1).

Z\subset X

\pi :{\widetilde {X}}\to X

\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X))

\pi

dimension af Kodaira Dimension af den kanoniske model. almindeligt mønster En ordning, hvis lokale ringe er almindelige lokale ringe . slægt Se #aritmetisk slægt , #geometrisk slægt .

C

tilsluttet Et skema er forbundet, hvis det er forbundet som et topologisk rum. Et affint skema Spec(R) er forbundet, hvis og kun hvis ringen R ikke har andre idempotenter end 0 og 1. lag For en skemamorfisme er laget f over y som et sæt det omvendte billede ; den har den naturlige skemastruktur over restfeltet af punktet y som et fiberprodukt , hvor den har den naturlige skemastruktur over Y som spektret af restfeltet af punktet y .

f:X\til Y

{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\))

{\displaystyle X\ gange _{Y}\{y\))

\{y\}

egen morfisme Adskillelig universelt lukket morfisme af endelig type. En skemamorfisme f : X → Y siges at være universelt lukket, hvis, for et hvilket som helst skema Z med en morfisme Z → Y , projektionen fra fiberproduktet er en lukket kortlægning af topologiske rum (overfører lukkede sæt til lukkede mængder).

X\time _{Y}Z\to Z

ordning Et skema er et lokalt ringmærket rum , lokalt isomorft i forhold til spektret af en kommutativ ring .

T

prik Et skema er et lokalt ringmærket rum, og dermed et topologisk rum, men ordet punkt har tre betydninger:

S

S

punkt af det underliggende topologiske rum; $P$
$T$ -punkt er en morfisme fra til , for ethvert skema ; $S$ $T$ $S$ $T$
et geometrisk punkt i et skema defineret over (med en morfisme til) , hvor er

et felt , er en morfisme fra til , hvor er en algebraisk lukning af .

S

{\textrm {Spec}}(K)

K

{\textrm {Spec))({\overline {K)))

S

{\overline {K}}

K

C

hele ordningen Den reducerede irreducerbare ordning. For en lokalt noethersk ordning svarer det at være integral til at være forbundet og dækket af spektre af integritetsdomæner

E

etal En morfisme f : Y → X er étale, hvis den er flad og uforgrenet. Der er flere andre tilsvarende definitioner. I tilfælde af glatte manifolder og over et algebraisk lukket felt er étale-morfismer morfismer, der inducerer en isomorfi af tangentrum , hvilket er det samme som den sædvanlige definition af étale-afbildninger i differentialgeometri.

x

Y

df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X

effektiv Cartier divisor En effektiv Cartier-divisor på et skema X over S er et lukket underskema af X , der er fladt over S , og hvis ideelle skær er inverterbart .

Noter

↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , 4.1.2 og 4.1.3.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1964 , 1.2.1.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , §1.4.
↑ The Stacks Project Arkiveret 16. marts 2012 på Wayback Machine , Kapitel 21, §4.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / overs. fra engelsk. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Fulton, William (1998), Intersection theory , vol. 2, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folie. En række moderne undersøgelser i matematik [Resultater i matematik og beslægtede områder. 3. serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publikationer Mathématiques de l'IHES . 4 . doi : 10.1007/ bf02684778 . MR 0217083 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Elements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie” . Publikationer Mathématiques de l'IHES . 20 . doi : 10.1007/ bf02684747 . MR 0173675 .