Krylov-Bogolyubov metode

Krylov-Bogolyubov- metoden er en metode til at opnå omtrentlige analytiske løsninger til ikke-lineære differentialligninger med en lille ikke-linearitet.

Beskrivelse

Overvej et dynamisk system med en lille ikke-linearitet [1] :

{\dot {x}}=Gx+\mu F(x,\mu,t)

(en)

Her er systemets tilstandsvektor med komponenter, er en konstant kvadratisk matrix, er en lille parameter, er en ikke-lineær vektorfunktion af tilstandsvektoren , en lille parameter og tid . $x$ $2n$ $G$ $\mu$ $F$ $x$ $\mu$ $t$

Ved bliver systemet lineært. En af dens periodiske løsninger kan skrives som: $\mu=0$

{\displaystyle x_{0}=AVe^{i(\omega t+\theta )))

(2)

Her er en vilkårlig konstant, er en egenvektor af matrixen , er en af systemets ikke-multiple naturlige frekvenser og er en vilkårlig konstant. $EN$ $V$ $G$ $\omega$ $\theta$

Vi søger løsningen af system (1) for i form af en serie i potenser af en lille parameter : $\mu \neq 0$ $\mu$

x=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\mu ^{k}u_{k}(A,\psi ,\mu t)

(3)

Her er ukendte vektorfunktioner og . og - langsomt skiftende amplitude og fase, der opfylder ligningerne: $\psi =\omega t+\theta ,u1,u2,...$ $A,\psi$ $\mu t$ $EN$ $\theta$

{\frac {dA}{dt}}=\mu f_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}f_{2}(A,\theta ,\mu t )+...

(fire)

{\frac {d\theta }{dt}}=\mu h_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}h_{2}(A,\theta ,\ mu t)+...

(5)

Beregn den afledede som en række af , baseret på udtryk (3, 4, 5): ${\dot {x}}$ $\mu$

{\dot {x}}=i\omega AVe^{i\psi }+\mu \left[f_{1}Ve^{i\psi}+iAh_{1}Ve^{i\psi } +\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}\right]+\mu ^{2}\left[f_{2}Ve^{i\psi }+iAh_{2} Ve^{i\psi }+{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A} }+h_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}\right]+. ..

(6)

Vi repræsenterer også den ikke-lineære del af ligning (1) som en serie i en lille parameter:

\mu F(x,\mu,t)=\mu F_{1}+\mu ^{2}F_{2}+...

(7)

hvor $F_{1}=F(x_{0},0,t),F_{2}={\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial x}}u_ {1}+{\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial \mu )),...$

Ved at sidestille i venstre og højre side af ligning (1) termer med samme potenser af den lille parameter , får vi et ligningssystem til bestemmelse af ukendte funktioner fra ligning (3): $\mu$ ${\displaystyle u_{j))$

\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+Gu_{1}=-f_{1}Ve^{i\psi}-iAh_{1}Ve^{i \psi }+F_{1}

(otte)

\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}+Gu_{2}=-f_{2}Ve^{i\psi}-iAh_{2}Ve^{i \psi }-{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)))-f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A}}-h_{ 1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+F_{2}

(9)

...

Lad os udvide vektorfunktionerne til Fourier-rækker med langsomt varierende koefficienter: ${\displaystyle u_{j},F_{j))$

u_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }U_{j}^{(m)}(A,\theta ,\ mu t)e^{im\psi }

(ti)

F_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }F_{j}^{(m)}(A,\theta ,\ mu t)e^{im\psi }

(elleve)

Dernæst erstatter vi (10), (11) i (8), (9) og sidestiller koefficienterne for hver harmonisk i begge dele af ligningen, får vi et system af inhomogene ligninger med hensyn til . ${\displaystyle U_{j}^{(m)))$

For at opnå ligningerne for den første tilnærmelse fra (8), (10), (11), komponerer vi en ligning til bestemmelse af vektorfunktionen ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$

(G+im\omega E)U_{1}^{(m)}=-(f_{1}+iAh_{1})\delta _{m1}V+F_{1}^{(m )}

(12)

Kompatibilitetsbetingelsen for system (12) på har formen: $m=1$

: (13)

-f_{1}CV-iAh_{1}CV+CF_{1}^{(1)}=0

Ved at adskille de reelle og imaginære dele i (13), finder vi:

f_{1}(A,\theta ,\mu t)=Re\venstre[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk))}\sum _ {k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]

(fjorten)

h_{1}(A,\theta ,\mu t)={\frac {1}{A}}Im\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n }c_{kk}}}\sum _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]

(femten)

I den anden tilnærmelse finder vi først ud fra ligningssystemet (12) vektorerne . I betragtning af, at ved , er vektoren bestemt op til en vilkårlig konstant, kan den repræsenteres som: ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$ $m=1$ ${\displaystyle U_{1}^{(1)))$

{\displaystyle U_{1}^{(1)}=AV^{(1)))

(16)

Derefter erstatter vi rækker (10), (11) i ligningssystemet (9). Under hensyntagen til (16) opnår vi:

(G+im\omega E)U_{2}^{(m)}=-\venstre[(f_{2}+iAh_{2})V^{(1)}+(f_{1} +iAh_{1})V^{(1)}+A\venstre({\frac {\partial V^{(1))){\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\partial V^{(1))){\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial V^{(1))){\partial \theta }}\right)\right]\ delta _{m1}-\venstre[{\frac {\partial U_{1}^{(m))){\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\partial U_{1 }^{(m)}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial U_{1}^{(m))){\partial \theta }}+imh_{1}U_{ 1}^{(m)}\right](1-\delta _{m1})+F_{}^{}

(17)

Ud fra kompatibilitetsbetingelsen for ligningssystemet (17) ved , kan vi bestemme og . Vilkårene for den tredje og højere tilnærmelse findes på samme måde. Som et resultat opnår vi et udtryk for systemtilstandsvektoren x $m=1$ ${\displaystyle f_{2))$ ${\displaystyle h_{2))$

x=A\venstre[V+\mu V^{(1)}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}V^{(2)}(A,\theta ,\ mu t)+...\right]e^{i\psi }+...

(atten)

Her opfylder amplituden og fasen ligningerne (4), (5). $EN$ $\theta$

Se også

Lille parameter metode

Noter

↑ Gulyaev, 1989 , s. 102.

Litteratur

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. ,. Teori om vibrationer. — M .: Nauka, 1981.
Bogolyubov N. N. , Mitropolsky Yu. A .,. Asymptotiske metoder i teorien om ikke-lineære svingninger. — M .: Nauka, 1963.
Gulyaev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L .,. Anvendte problemer i teorien om ikke-lineære svingninger af mekaniske systemer. - M . : Højere skole, 1989. - 383 s. - ISBN 5-06-000091-5 .